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3. Simulation en régime transitoire.
La portion d'analyse transitoire de WinECAD détermine la réponse transitoire du circuit sur un intervalle de temps spécifié par l'utilisateur. Les conditions initiales sont automatiquement calculées par une analyse en continu. Toutes les sources qui ne sont pas fonction du temps sont initialisées à leurs valeurs continues. L'intervalle de temps de simulation est spécifié par la commande. TRAN L'étude théorique de cette analyse dépasse le cadre de ce document. Nous allons juste donner quelques rudiments qui permettront de comprendre le fonctionnement de certaines options de WinECAD. 3.1 Analyse en régime transitoire. De manière générale, les routines d'analyse du programme de simulation, déterminent la solution numérique, dans le domaine spécifié, à partir d'une représentation mathématique du circuit. Pour effectuer la transition entre le circuit physique et le système d'équations mathématiques, chaque élément de circuit est représenté par son modèle mathématique. Lorsque que chaque élément de circuit aura été modélisé, le système d'équations décrivant le circuit complet est déterminé par les différentes équations de modèle auxquelles seront ajoutées les contraintes topologiques issues de l'interconnexion des éléments. On aboutit à un système d'équations algébriques et différentielles de la forme :
F( x,
dx , t) = 0 dt
(3.1)
Où x est le vecteur des variables inconnues du circuit et F en général un opérateur non linéaire. L'étude des méthodes de détermination automatique de (3.1) dépasse le cadre de ce document. On peut seulement noter que ces méthodes (dites de formulation des équations de circuits) s'appuient sur la notion d'équation de relation de branche et sur les lois de Kirchhoff.
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3.1.1 Relations de branches (Equations constitutives des branches). La modélisation d'un élément est déterminée par ses propriétés physiques. La convention utilisée est la suivante:
Figure 3.1. Convention utilisée. Le courant est compté positif dans la branche, s'il circule du noeud positif vers le noeud négatif, dans la branche. La tension de branche est positive si le noeud positif est à un potentiel plus élevé que le noeud négatif. On peut définir quatre types de relations de branche: -branche définie en courant et ne disposant pas d'éléments de stockage d'énergie.
i = f ( x) i = i0 ; source de courant idéale i= v ; résistor idéal R
-branche capacitive.
q = f ( x) i= dq dt q = Cv i= dq dt pour une capacité idéale
-branche définie en tension et ne contenant pas d'éléments de stockage d'énergie.
v = f ( x) v = v0 ; source de tension idéale v = Ri; résistor idéal
-branche inductive.
= f ( x) d
v= dt
= Li d pour une inductance idéale
v= dt
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3.1.2 Lois topologiques de Kirchhoff. Outre les contraintes imposées par les relations de branche, les équations doivent satisfaire aux lois topologiques de Kirchhoff: -LKT: La somme algébrique des différences de potentiel le long d'une boucle du réseau, est nulle, a chaque instant. -LKC: La somme algébrique des courants traversant chaque noeud du réseau, est nulle, à chaque instant. 3.1.3 Détermination numérique de la solution. La solution du système d'équations algébriques et différentielles (3.1) est calculée à l'aide de méthodes pas à pas. On introduit un incrément de temps h et on détermine à l'aide d'une équation de récurrence une valeur approchée de x(t) à l'instant tn+1 = tn + h. Ce sont des méthodes d'intégration numériques. Elles existent en une grande variété, cependant toutes n'ont pas une précision et une robustesse suffisante pour un logiciel de simulation de type SPICE comme WinECAD. Dans l'exemple suivant nous allons utiliser une formule d'intégration numérique simple pour illustrer la façon dont une solution numérique peut être déterminée à une équation différentielle. _______________________________________________________________ EXEMPLE 3.1. Charge d'un condensateur. On considère le circuit RC de la Fig. 3.2
Figure 3.2. Circuit RC.
R = 2, C = 1F , E = 1V
Prenons comme conditions initiales t0 = 0; vc (t0 ) = 0 .
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L'équation du circuit est :
E = RC dvc + vc dt
soit mise sous la forme (3.1)
RC dvc + vc - E = 0 dt
C'est à dire :
vc =
E - vc
= f (vc )
La solution analytique a ce problème est connue :
vc = E (1 - e
- t RC
Nous allons effectuer une résolution numérique de cette équation différentielle. La formule de récurrence utilisée est la formule d'Euler.
)
xn+1 = xn + hxn xn+1 = f ( xn+1 , tn+1 )
(3.2) (3.3)
On considère un pas constant h = 0.5 . Calculons la dérivée au point initial : E - vc0 vc0 = = 0.5
Utilisons la formule (3.2) pour calculer les points suivants: Ainsi, pour le point t1 on aura :
t1 = 0.5,
v c1 = 0 + 0.5 × 0.5 = 0.25
v c1 = 0.25,
v c1 =
et le point t2
t 2 = 1.0, v c2 = 0.4375, vc2 =
1 - 0.25 = 0.375 2
Exécutons ainsi une vingtaine de pas de calcul. Pour pouvoir établir une comparaison entre cette méthode et les autres on calcule l'erreur commise à chaque pas de calcul :
(t n ) = x(t n ) - vc
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n
1 - 0.4375 = 0.28125 2
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x(t n ) est la solution analytique (solution exacte) au temps t . n
tn en s 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
vc en V
x en V
0,25 0,4375 0,578125 0,683594 0,762695 0,822021 0,866516 0,899887 0,924915 0,943686 0,957765 0,968324 0,976243 0,982182 0,986637 0,989977 0,992483 0,994362 0,995772 0,996829
0,221199 0,393469 0,527633 0,632121 0,713495 0,77687 0,826226 0,864665 0,894601 0,917915 0,936072 0,950213 0,961226 0,969803 0,976482 0,981684 0,985736 0,988891 0,991348 0,993262
-0,0288008 -0,0440307 -0,0504916 -0,0514732 -0,0492001 -0,0451516 -0,0402901 -0,0352224 -0,0303145 -0,0257715 -0,0216927 -0,0181107 -0,0150169 -0,0123794 -0,0101543 -0,008293 -0,00674725 -0,00547123 -0,00442334 -0,00356668
Table 3.1. Détermination numérique de la solution de l'équation différentielle du circuit RC. Dans cet exemple simple, nous avons choisi la formule d'Euler pour illustrer la façon d'obtenir une solution numérique en simulation. Le pas de calcul est fixe et on voit bien que la précision du résultat dépendra de ce pas de calcul. Dans WinECAD le pas n'est pas fixe. Il varie en fonction de l'estimation de l'erreur. La courbe err dans cet exercice donne une idée sur la façon dont le pas de calcul peut varier automatiquement pour garantir toujours une précision suffisante. Des options : RELTOL, VNTOL, ABSTOL permettront de changer la précision exigée. RELTOL est la précision relative demandée, VNTOL la tolérance absolue sur les tensions et ABSTOL la tolérance absolue sur les courants. Les valeurs par défaut dans WinECAD peuvent convenir à la plupart des applications en électronique. Cependant dans les domaines de fortes amplitudes de courant et de tension les valeurs par défaut peuvent entraîner de trop petits pas de calcul.
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En effet une tolérance absolue de 1 mv sur une tension de plusieurs kv n'est pas raisonnable.
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9 9,5 10 0 -0,01 -0,02 vc -0,03 -0,04 -0,05 -0,06 x err
Figure 3.3 Charge d'un condensateur. ___________________________________________________________ Il y a deux méthodes d'intégration numériques dans WinECAD : La méthode des trapèzes et la méthode de Gear à ordre variable. La méthode des trapèzes est relativement simple et très précise. Elle peut entraîner dans certains cas (Electronique de puissance par exemple) des oscillations parasites. C'est la méthode par défaut. Nous allons maintenant voir comment l'analyse temporelle peut être mise en oeuvre avec le duo Winschem-WinECAD. 3.2. Paramétrage de l'analyse transitoire dans WinECAD 3.2.1 La syntaxe SPICE Rôle: Syntaxe: Exemples Calcule la réponse temporelle sur l'intervalle de temps spécifié. .TRAN TPAS TFIN > .TRAN 1NS 100NS .TRAN 1NS 1000NS 500NS .TRAN 10NS 1US uic
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Arguments et options. TPAS est le pas d'impression des résultats dans le fichier de sortie. TFIN est le temps de fin de simulation. TDEBUT celui du début de la simulation. TMAX est le pas maximal que WinECAD utilise. UIC (Use Initial Condition) est un mot clé optionnel qui indique que l'utilisateur ne veut pas que WinECAD calcule luimême les valeurs du point de repos avant de commencer l'analyse temporelle. Commentaires Si TDEBUT n'est pas mentionné, la valeur zéro est prise par défaut. De toute façon, l'analyse temporelle commence toujours au temps 0. Dans l'intervalle [0 TDEBUT], le circuit est analysé mais les résultats ne sont pas stockés. Dans l'intervalle [TDEBUT TFIN], le circuit est analysé et les résultats sont stockés. Par défaut, le programme choisit la plus petite valeur entre TPAS et (TFIN-TDEBUT)/50.0. TMAX est utile lorsque l'on veut garantir un intervalle de calcul plus petit que l'intervalle d'impression. Si le mot clé UIC est spécifié, WinECAD utilise les valeurs données par l'expression IC=... sur la définition de certains éléments, comme les conditions initiales de l'analyse temporelle avant de commencer cette analyse. Si la ligne de contrôle .IC a été spécifiée alors les potentiels de noeuds présents sur cette ligne seront utilisés pour calculer les conditions initiales des différents composants.
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3.2.2 Boite de dialogue.
Figure 3.4 Dialogue Analyse transitoire A noter: L'analyse temporelle peut être suivie d'une analyse de Fourier (.four) ou d'une analyse spectral (.spec) . Il suffira de cochez l'option Autoriser Fourier ou Autorisez Analyse spectrale dans le groupe Mode.
La signification des paramètres est la suivante:
Analyse temporelle
Pas maximum de simulation que vous autorisez WnECAD à avoir. Temps de fin de simulation. Fin de l'analyse Début de l'analyse. Temps de début d'analyse. La valeur 0 est prise par défaut. Pour utiliser les conditions initiales spécifiées par la commande .IC, cochez la case Utiliser les conditions initiales.
Pas Maximum.
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3.3 Exemples d'analyses.. 3.3.1 Circuit RC en régime transitoire. On désire étudier le circuit suivant :
Figure 3.5. Circuit RC.
On va soumettre à ce circuit, dans un premier temps, un train d'impulsions périodiques puis dans un deuxième temps, une impulsion unique. Etude en régime transitoire avec source générateur de créneaux. 3.3.1.1 Réponse à un créneau de tension. La source Ve devra être une source a créneau unique de 60us avec un retard de 60us. La technique à utiliser pour générer cette source a impulsion unique, est de donner à la période une valeur largement au-dessus du temps de simulation. Nous allons simuler ce circuit sur un temps de 100us.
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Figure 3.6 Circuit RC avec source a créneau unique. La source Ve est du type "géné tension carrée" avec les paramètres suivants : Paramètre V1 (Valeur initiale) V2 (Amplitude impulsion) TD (Temps de retard) TR (Temps de montée) TF (Temps de descente) PW (Largeur impulsion) PER(période) Valeur 0 10v 60us 0 0 60us 999 Unités Volts ou Ampères Volts or Ampères secondes secondes secondes secondes secondes
La période a été mise très grande devant le temps de simulation. La réponse du circuit est donnée par la fig 3.7.
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Figure 3.7 Réponse du circuit RC à un créneau de 60us. 3.3.1.2 Réponse a un signal carré.. A présent, nous voulons soumettre le même circuit à une tension carrée périodique. La période est choisie de sorte qu'une charge complète ou une décharge complète ne puisse se faire pendant la période. Il suffit de prendre une période d'application de signal faible devant trois fois la constante de temps du circuit. Le circuit est réalisé avec Winschem Fig 3.8 La constante de temps de ce circuit est 2µs . La charge complète devant se faire en plus de 6µs, le temps de 5µs choisi pour le temps d'application de la tension de charge ne permet pas une charge complète.
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Figure 3.8 Circuit RC excitation Périodique Lé générateur est programmé dans Winschem avec les paramètres suivants : Paramètre V1 (Valeur initiale) V2 (Amplitude impulsion) TD (Temps de retard) TR (Temps de montée) TF (Temps de descente) PW (Largeur impulsion) PER(période) Valeur 0 10v 5us 0 0 5us 10us Unités Volts ou Ampères Volts or Ampères secondes secondes secondes secondes secondes
Les résultats sont donnés par le graphe de la figure 3.9
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Figure 3.9. Réponse du circuit RC à l'excitation périodique
3.3.1.3 Réponse à un signal sinusoïdal. Finalement, on remplace la source d'entrée par un générateur sinusoïdal 10V Crète à Crète de fréquence 6MHz.
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Figure 3.10 Circuit RC excitation sinusoïdale Le début de l'affichage des résultats de simulation est porté à 0.7ms. Les calcules effectués jusqu'à cette date ne sont pas affichés. C'est le passage du régime transitoire d'établissement. Les paramètres de la source sinusoïdale sont donnés par : Paramètre VO (Offset) VA (Amplitude) FREQ (Fréquence) TD (Retard) THETA(Facteur d'amortissement) Valeur 0 5V 6kHz 0.0 0.0 Unités Volts ou Ampères Volts or Ampères Hz secondes 1/secondes
Le déphasage entre les V(S) et V(E) est donné par la relation
= - arcth ( RC ) -37°
Une mesure faite sur le graphique ci dessous montre que la simulation donne bien le déphasage attendu.
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Figure 3.11. Réponse du circuit RC a une excitation sinusoïdale
3.3.2 Utilisation du Timer 555 Le circuit intégré NE555 peuvent être utilisés tant en monostables qu'en astables. Utilisé en mono stable, il permettra de réaliser des temporisateurs allant de quelques microsecondes à quelques heures. Utilisés en astable ils permettront de générer des signaux à fréquence et rapport cyclique variables.
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Figure 3.12. Exemple d'utilisation du Timer 555
Les montages à astables ou monostables et les oscillateurs sont sensibles aux conditions initiales. On utilisera souvent le paramètre UIC dans la commande .tran pour obliger WinECAD a tenir compte des valeurs initiales (Tensions aux bornes des condensateurs, courants dans les inductances etc) Le condensateur se charge au travers de R1+R2 et se décharge à travers R2 La fréquence du signal de sortie est donnée donc par :
F = 144 . ( R1 + 2 R2 ) C
Avec les éléments de notre schéma nous aurons donc F=14.5kHz. Le graphique ci dessous confirme bien ce calcul.
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Figure 3.13 Signaux du timer 555. 3.3.3 Oscillateur sinusoïdal a CMOS. Le circuit ci-dessus peut-être facilement utilisé avec des systèmes digitaux comme un générateur de base de temps parcequ'il peut être facilement réalisé a l'aide de portes CMOS. L'élément actif est un inverseur construit sur une paire complémentaire de Mos. L'inductance L1 relie la sortie a l'entrée en une contre réaction en continue. Ce qui permet au point d'opération de demeurer au centre de la caractéristique statique. Le condensateur C1 est supposé chargé à une tension initiale de 7.5v. Cette valeur doit être mise lors de l'édition du schéma en modifiant les paramètres WinECAD du condensateur C1. La commande .TRAN correspondante comportera donc une directive UIC pour prendre en compte cette valeur initiale.
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Figure 3.14 Oscillateur sinusoidal à CMOS
La fréquence d'oscillation de ce montage est donnée par la formule :
F = 2 1 L1C1C2 C1 + C2
La simulation nous montre bien que la tension aux bornes du condensateur C1 part bien de 7.5V .
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Figure 3.15 3.3.4 Amplificateur classe A Ce circuit est le même que celui qui a été vu pour les analyses en continu. Nous gardons donc le même point de polarisation et connectons en entrée une source sinusoïdale de faible amplitude.
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Figure 3.16. Amplificateur classe A La simulation sur deux périodes du signal d'entrée nous donne les résultats de simulation suivants :
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Figure 3.17. Tensions de sortie et d'entrée 3.3.5 Alimentation de puissance. Ce circuit du domaine de l'électronique de puissance mettra en oeuvre deux techniques particulières ont la simulation des circuits dans ce domaine. Le circuit est donné par la fig. 3.18. Le transformateur utilisé ici est modélisé par le couplage de deux inductances non saturables. Un pont de Graetz monophasé constitue l'étage de redressement.
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Figure 3.18. Alimentation de puissance. Le schéma montre qu'un résistance très élevé est connecté à la masse au primaire du transfo. En effet la simulation SPICE exige que tous les composants aient au moins un chemin d'accès vers la masse. si la masse est connectée au secondaire du transfo, les composants du primaire n'ont pas de chemin électrique vers la masse. La solution est donc de connecter une résistance de très forte valeur entre le primaire et la masse. Les circuits en électronique de puissance peuvent présenter parfois des oscillations parasites du a la méthode de calcul utilisé par défaut dans WinECAD. Il est conseillé pour les circuits de l'électronique de puissance de changer la méthode de calcul grâce a une option. .option method=gear. Les résultats montrant le transitoire de fonctionnement de l'alimentation de puissance sont donnés par les courbes suivantes.
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Figure 3.19. Tensions et courant au secondaire du transfo.
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3.4 Amélioration des performances en simulation. Les programmes de type SPICE comme WinECAD, demandent souvent quelques connaissances en simulation SPICE, pour en tirer un maximum de profit. Le problème qui se pose typiquement à l'utilisateur moyen est : Comment accroître la vitesse de simulation sans nuire à la précision des résultats ? Il vaut mieux avoir quelques idées sur le comportement du circuit à simuler. Cela permettra par exemple de mettre d'entrée de jeu les bonnes options et les bons paramètres de simulation. Par exemple pour les systèmes dits «raides», c'est à dire dans lesquelles co-existent de très petites constantes de temps et de très grandes, il vaut mieux choisir la méthode d'intégration numérique GEAR. Cette option peut être mise par la menu, dans le schéma ou dans la netlist (.cir) généré : .option method=gear. Dans les autres cas la méthode par défaut est utilisée. Trapèze. Il faut ajuster la valeur de TFIN (temps de fin de l'analyse et non la durée de l'analyse) pour avoir une observation suffisante. Pour une charge de capacité par exemple, une valeur de TFIN de 3 à 5 fois la constante de temps est suffisante. Si on désire éditer les résultats sous forme texte, présents dans le fichier de sortie, il faut déterminer le pas d'impression. Attention cette valeur est aussi considérée par Spice comme étant le pas maximum à ne pas dépasser si une valeur nulle est donnée à TMAX. Donc mettre une trop petite valeur peut augmenter inutilement le temps de simulation, car même s'il était possible à WinECAD de faire des pas de calcul, plus grands il serait limité par la valeur TPAS. Mais si une valeur nulle est mise pour TPAS, une valeur par défaut est calculée. Cette valeur par défaut est calculée de manière à écrire 50 points régulièrement repartis dans le fichier texte de sortie. En ce qui concerne les options liées aux tolérances, il faut savoir que les performances d'une simulation peuvent se dégrader rapidement si de bonnes tolérances n'étaient données. Pour des circuits ou les courants et les tensions ont des fortes valeurs, baisser dans un premier temps la valeur de la tolérance relative, RELTOL. Example .option reltol=.01 En effet, une augmentation de reltol peut dans certains cas augmenter la vitesse de simulation de 10 à 50%. Une faible perte de précision en résultera. Une fois que les résultats de la simulation sont observés, la précision peut être
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augmentée en baissant RELTOL (0.001 par exemple). En dessous de cette valeur le gain en précision n'est pas observable. Les tolérances ABSTOL (tolérance absolue sur les courants) et VNTOL (tolérance absolue sur les tensions) peuvent aussi être réduites si les amplitudes des courants et tensions le permettent. Les valeurs par défaut sont ABSTOL=1pA et VNTOL=1µv.
VMAX 10 8 La règle empirique est VNTOL et IMAX 10 8 ABSTOL
Ainsi VNTOL, la tolérance par défaut pour les tensions devient inutilement trop faible pour des tensions dépassant 100V, comme en électronique de puissance. Exemple .option abstol=1n vntol=1m L'utilisateur du logiciel de simulation peut donc être amené à faire des choix différents en fonction des circuits en présence afin d'améliorer les performances de simulation. D'autres options sont disponibles dans WinECAD, dans le but d'accroître le rapport vitesse/précision. Leur description dépasse le cadre de ce document mais peut être trouvée dans les documents traitant de SPICE3
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